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[主观题]
设V是一个n维欧氏空间,它的内积为(α,β),对V中确定的向量α,定义V上一个函数α*:α*(β)=(α,β)。1)证明:α*是V上线性函数;2)证明:V到V*的映射:α→α*是V到V*的一个同构映射。(在这个同构下,欧氏空间可看成自身的对偶空间。)
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设{α1,α2,…,αn}和{β1,β2,…,βn}是n维欧氏空间V的两个标准正交基,证明:如果V的一个正交变换τ使得τ(α1)=β1,那么τ(α2),τ(α3),…,τ(αn)所生成的子空间与β2,β3,…,βn所生成的子空间重合.
1)设α,β是n维欧氏空间V中两个不同的单位向量,证明:存在一镜面反射使
2)证明:n维欧氏空间V中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积。
设V是n维欧氏空间,γ是V中一非零向量,试证W={α∈V/(α,γ)=0}的维数等于n-1
令γ1,γ2,···,γn是n维欧氏空间V的一个规范正交基,又令
K叫作一个n一方体.如果每一xi都等于0或1,ξ就叫作K的一个顶点。K的顶点间一切可能的距离是多少?
设η是欧氏空间中一单位向量,定义T(α)=α-2(η,α)η.证明: (1)T是正交变换,这样的正交变换称为镜面反射; (2)T是第二类的(即T对应的矩阵的行列式为-1); (3)如果n维欧氏空间中,正交变换T以1作为一个特征值,且属于特征值1的特征子空间V1的维数是n-1,则T是镜面反射.
设e1,e2,…,e5是5维欧氏空间V的一个标准正交基.W是由α1,α2,α3所生成的V的子空间,其中α1=e1+e5,α2=e1-e2+e4,α3=2e1+e2+e3.试求W的一个标准正交基.