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[主观题]

设e1,e2,…,e5是5维欧氏空间V的一个标准正交基.W是由α1,α2,α3所生成的V的子空间,其中α1=e1+e5,α2=e1-e2+e4,α

设e1,e2,…,e5是5维欧氏空间V的一个标准正交基.W是由α1,α2,α3所生成的V的子空间,其中α1=e1+e5,α2=e1-e2+e4,α3=2e1+e2+e3.试求W的一个标准正交基.

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第1题
1)设α,β是n维欧氏空间V中两个不同的单位向量,证明:存在一镜面反射使2)证明:n维欧氏空间V中任一

1)设α,β是n维欧氏空间V中两个不同的单位向量,证明:存在一镜面反射使

2)证明:n维欧氏空间V中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积。

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第2题
设V是一个n维欧氏空间,它的内积为(α,β),对V中确定的向量α,定义V上一个函数α*:α*(β)=(α,β)。1)证明:α*是V上线性函数;2)证明:V到V*的映射:α→α*是V到V*的一个同构映射。(在这个同构下,欧氏空间可看成自身的对偶空间。)

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第3题
设V是一n维欧氏空间,α≠0是V中一固定向量,证明:1)V1={x|(x,α)=0,x∈V}是V的一子空间;2)V1的维数等于n-1。

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第4题
设α1,α2,···,αm和β1,β2,···,βm是n维欧氏空间V中两个向量组,证明存在
一正交变换使的充分必要条件为

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第5题
设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换,证明如果σ满足下列三个条件中的任意两个,那么它必须满足第三个:(i)σ是正交变换;(ii)σ是对称变换;(iii)σ2=τ是单位变换。
设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换,证明如果σ满足下列三个条件中的任意两个,那么它必须满足第三个:(i)σ是正交变换;(ii)σ是对称变换;(iii)σ2=τ是单位变换。

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第6题
令γ1,γ2,···,γn是n维欧氏空间V的一个规范正交基,又令K叫作一个n一方体.如果每一x≇

令γ1,γ2,···,γn是n维欧氏空间V的一个规范正交基,又令

K叫作一个n一方体.如果每一xi都等于0或1,ξ就叫作K的一个顶点。K的顶点间一切可能的距离是多少?

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第7题
某充电电池,以E1输出放电作电功,然后以E2给其充电使其复原,设E2>E1,在整个循环中,功、热及吉布斯自由能变化关系应为:()。

A.W<0,Q>0,DG=0

B.W>0,Q>0,DG<0

C.W>0,Q<0,DG<0

D.W<0,Q<0,DG=0

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第8题
令{α1,α2,···,αn}是欧氏空间V的一组线性无关的向量,{β1,β2,···,βn}是
由这组向量通过正交化方法所得的正交组。证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即

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第9题
氢原子从能量为E1的较高激发态跃迁到能量为E2的较低激发态,设真空中的光速为c,则()

A.吸收光子的波长为eq \f(c(E1-E2),h)

B.辐射光子的波长为eq \f(c(E1-E2),h)

C.吸收光子的波长为eq \f(ch,E1-E2)

D.辐射光子的波长为eq \f(ch,E1-E2)

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第10题
在如下工作表中E6单元格中填写总成绩的最低分,应使用下述哪个计算公式()

A.=MIN(E2:E5)

B.=MAX(E2:E5)

C.=SUM(E2:E5)

D.=AVERAGE(E2:E5)

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第11题
设A=(aij)是一个n级正定矩阵,而在Rn中定义内积(α,β)为(α,β)=αAβ'。1)证明:在这个

设A=(aij)是一个n级正定矩阵,而在Rn中定义内积(α,β)为(α,β)=αAβ'。

1)证明:在这个定义之下,Rn成一欧氏空间;

2)求单位向量(0,0,..,1)的度量矩阵;

3)具体写出这个空间中的柯西-布涅柯夫斯基不等式。

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