题目内容
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[主观题]
设V是一n维欧氏空间,α≠0是V中一固定向量,证明:1)V1={x|(x,α)=0,x∈V}是V的一子空间;2)V1的维数等于n-1。
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设V是n维欧氏空间,γ是V中一非零向量,试证W={α∈V/(α,γ)=0}的维数等于n-1
1)设α,β是n维欧氏空间V中两个不同的单位向量,证明:存在一镜面反射使
2)证明:n维欧氏空间V中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积。
令γ1,γ2,···,γn是n维欧氏空间V的一个规范正交基,又令
K叫作一个n一方体.如果每一xi都等于0或1,ξ就叫作K的一个顶点。K的顶点间一切可能的距离是多少?
设{α1,α2,…,αn}和{β1,β2,…,βn}是n维欧氏空间V的两个标准正交基,证明:如果V的一个正交变换τ使得τ(α1)=β1,那么τ(α2),τ(α3),…,τ(αn)所生成的子空间与β2,β3,…,βn所生成的子空间重合.
设α1,α2,…,αm是欧氏空间V中的m个向量.令行列式
证明:α1,α2,…,αm线性无关的充要条件是行列式D≠0(称D为α1,α2,…,αm的格拉姆(Gram)行列式).
设η是欧氏空间中一单位向量,定义T(α)=α-2(η,α)η.证明: (1)T是正交变换,这样的正交变换称为镜面反射; (2)T是第二类的(即T对应的矩阵的行列式为-1); (3)如果n维欧氏空间中,正交变换T以1作为一个特征值,且属于特征值1的特征子空间V1的维数是n-1,则T是镜面反射.