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[主观题]

设向量空间V=L（α₁，α₂，…，α_n)，W=L（β₁，β₂，…，β_m)，则（)。

A.

A.当且仅当集合{α1，α2，…，αn}{β1，β2，…，βm}B.当且仅当向量组α1，α2，…，α

当且仅当集合{α₁，α₂，…，α_n} A.当且仅当集合{α1，α2，…，αn}{β1，β2，…，βm}B.当且仅当向量组α1，α2，…，α

A.当且仅当集合{α1，α2，…，αn}{β1，β2，…，βm}B.当且仅当向量组α1，α2，…，α

{β₁，β₂，…，β_m}

B. A.当且仅当集合{α1，α2，…，αn}{β1，β2，…，βm}B.当且仅当向量组α1，α2，…，α 当且仅当向量组α₁，α₂，…，α_n可以由向量组β₁，β₂，…，β_m线性表示

C. A.当且仅当集合{α1，α2，…，αn}{β1，β2，…，βm}B.当且仅当向量组α1，α2，…，α 当且仅当V的基都是W的基

D. A.当且仅当集合{α1，α2，…，αn}{β1，β2，…，βm}B.当且仅当向量组α1，α2，…，α 当且仅当dimV≤dimW

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第1题

设{α₁，α₂，···，α_n}是F上n维向量空间V的一个基。A是F上一个nxs矩阵。令证明

设{α₁，α₂，···，α_n}是F上n维向量空间V的一个基。A是F上一个nxs矩阵。令

证明

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第2题

设α₁，α₂，···，α_m和β₁，β₂，···，β_m是n维欧氏空间V中两个向量组，证明存在

一正交变换

使

的充分必要条件为

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第3题

设V是一n维欧氏空间，α≠0是V中一固定向量，证明：1)V₁={x|（x，α)=0，x∈V}是V的一子空间;2)V₁的维数等于n-1。

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第4题

设σ是数域F上n维向量空间V的一个可以对角化的线性变换。令λ₁，λ₂，···，λ_t是σ的全部本

征值。证明，存在V的线性变换σ₁，σ₂，···，σ_t，使得

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第5题

设V是一个n维欧氏空间，它的内积为（α，β)，对V中确定的向量α，定义V上一个函数α*：α*（β)=（α，β)。1)证明：α*是V上线性函数;2)证明：V到V*的映射：α→α*是V到V*的一个同构映射。（在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间。)

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第6题

证明：设β₁，β₂，...，β_m为n维线性空间V中线性相关的向量组，但其中任意m-1个向量皆线

性无关。设有m个数

。则或者b₁=b₂=...=b_m=0，或者b₁，b₂，...，b_m皆不为零。在后者的情形，若有另一组数c₁，c₂，...，c_m使

。

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第7题

设V和W都是数域F上的向量空间，且dimV=n。令σ是V到W的一个线性映射。我们如此选取V的一个基：α_1⌘

设V和W都是数域F上的向量空间，且dimV=n。令σ是V到W的一个线性映射。我们如此选取V的一个基：α₁，···，α_s，α_s+1，...，α_n，使得α₁，···，α_s是Ker(σ)的一个基。证明：(i)σ(α_s+1)，...，σ(α_n)组成Im(σ)的一个基；

(ii)dim Ker(σ)+dim Im(σ)=n。

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第8题

令{α₁，α₂，···，α_n}是欧氏空间V的一组线性无关的向量，{β₁，β₂，···，β_n}是

由这组向量通过正交化方法所得的正交组。证明，这两个向量组的格拉姆行列式相等，即

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第9题

设n(n≥3)维向量组α₁,α₂,α₃线性无关,若向量组线性相关，则m,l应满足条件_______

设n（n≥3)维向量组α₁,α₂,α₃线性无关,若向量组线性相关，则m,l应满足条件_______

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第10题

1)设α，β是n维欧氏空间V中两个不同的单位向量，证明：存在一镜面反射使2)证明：n维欧氏空间V中任一

1)设α，β是n维欧氏空间V中两个不同的单位向量，证明：存在一镜面反射使

2)证明：n维欧氏空间V中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积。

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