设u,v都是x,y,z的函数,且都具有连续偏导数,证明:
(2)grad(uv)=vgradu+ugradv.
设函数u=u(x,y,z)在以点(a,b,c)为球心且以R为半径的闭球上为调和函数,S为该球的球面,证明[平均值定理]
设D是以光滑曲线I为边界的有界闭区域,而函数u=u(x,y)在D上具有连续的二阶偏导数、记
证明:
其中表示函数u沿边界曲线I外法线方向的方向导数.
设C为分段光滑简单闭曲线,n为C的外法线向量,D为C所围成的闭区域。函数u(x,y)在D上有连续二阶偏导数,证明