设R与R'是环,f:R→R'是一个同态映射。证明:
(i)Imf=f(R)=(f(a)|a∈R}是R'的一个子环;
(i)I=Kerf={a∈R|f(a)=0}是R的一个子环,并且对于任意r∈R,a∈I,都有ra∈I。
如果R与R'都有单位元。能不能断定f(1R)是R'的单位元1R?当f是满射时,f(1R)是不是R'的单位元?
设f(x)在[a,b]上连续,f(a)=f(b)=0,且,
证明:f(x)在(a,b)内必有一个零值点.
设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:
1)在P[x]中有一次数≤n2的多项式f(x),使
2)如果,那么
这里d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式;
3)可逆的充分必要条件是,有一常数项不为零的多项式f(x)使
设A是复数域C上一个n阶矩阵,λ1,λ2,···,λn是A的全部特征根(重根按重数计算)。
(i)如果f(x)是C上任意一个次数大于零的多项式,那么f(λ1),f(λ2),···,f(λn)是f(A)的全部特征根;
(ii)如果A可逆,那么λi≠0,i=1,2,...,n,并且是A-1的全部特征根。
B.若对任意一组不全为零的数k1,k2,…,ks,都有k1α1+k2α2+…+ksαs≠0,则向量组α1,α2,…,αs线性无关
C.若向量组α1,α2,…,αs线性相关,则其中任意一个向量都可以用其余s-1个向量线性表示
D.若向量组α1,α2,…,αs线性相关,则对任意一组不全为零的数k1,k2,…,ks都有k1α1+k2α2+…+ksαs=0
设函数f(x)在某区间内有定义,如果存在一个函数F(x),使得对于该区间上的每一点都有或dF(x)=f(x)dx,则F(x)与f(x)的关系是()。
A.F(x)是f(x)的原函数
B.F(x)与f(x)是关于原点对称
C.F(x)是f(x)的奇函数
D.F(x)与f(x)是无关联的函数