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[主观题]
设V是数域P上n维线性空间,σ是V的可逆线性变换,W是σ的不变子空间,证明:W也是σ-1的不变子空间.
设V是数域P上n维线性空间,σ是V的可逆线性变换,W是σ的不变子空间,证明:W也是σ-1的不变子空间.
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设V是数域P上n维线性空间,σ是V的可逆线性变换,W是σ的不变子空间,证明:W也是σ-1的不变子空间.
设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:
1)在P[x]中有一次数≤n2的多项式f(x),使
2)如果,那么这里d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式;
3)可逆的充分必要条件是,有一常数项不为零的多项式f(x)使
设V和W都是数域F上的向量空间,且dimV=n。令σ是V到W的一个线性映射。我们如此选取V的一个基:α1,···,αs,αs+1,...,αn,使得α1,···,αs是Ker(σ)的一个基。证明:(i)σ(αs+1),...,σ(αn)组成Im(σ)的一个基;
(ii)dim Ker(σ)+dim Im(σ)=n。
设V1,V2都是线性空间V的子空间,且V1V2,证明:如果V1的维数和V2的维数相等,那么V1=V2。
设V是数域F上一切mxn矩阵所构成的向量空间。C是一个取定的mxm矩阵,定义证明:f是V上一个双线性函数,f是不是对称的?
设σ为n维线性空间V的线性变换,下面三个条件等价:
(1)σ是单射;(2)σ是满射;(3)σ是双射.
若σ是无限维线性空间V的线性变换,则σ是单射与σ是满射等价?