题目内容
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[主观题]
设σ是数域F上n维向量空间V到自身的一个线性映射。W1,W2是V的子空间,并且V=W1⊕W2。证明:σ有逆映射的充要条件是V=σ(W1)⊕σ(W2)。
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设V和W都是数域F上的向量空间,且dimV=n。令σ是V到W的一个线性映射。我们如此选取V的一个基:α1,···,αs,αs+1,...,αn,使得α1,···,αs是Ker(σ)的一个基。证明:(i)σ(αs+1),...,σ(αn)组成Im(σ)的一个基;
(ii)dim Ker(σ)+dim Im(σ)=n。
设V是数域F上一切mxn矩阵所构成的向量空间。C是一个取定的mxm矩阵,定义证明:f是V上一个双线性函数,f是不是对称的?
设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:
1)在P[x]中有一次数≤n2的多项式f(x),使
2)如果,那么这里d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式;
3)可逆的充分必要条件是,有一常数项不为零的多项式f(x)使
设{α1,α2,···,αn}是F上n维向量空间V的一个基。A是F上一个nxs矩阵。令
证明
令Mn(F)表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间。令
证明:S和T都是Mn(F)的子空间,并且Mn(F)=S+T,S∩T={O}。