题目内容
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[主观题]
证明:设β1,β2,...,βm为n维线性空间V中线性相关的向量组,但其中任意m-1个向量皆线
性无关。设有m个数。则或者b1=b2=...=bm=0,或者b1,b2,...,bm皆不为零。在后者的情形,若有另一组数c1,c2,...,cm使。
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设A为n维非奇异常阵,其特征值{λ1,λ2,…,λn}两两相异,试证明A-1的特征值为{,,…,}。
设A是n阶可逆矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵
(1)计算并化简PQ;
(2)证明Q可逆的充要条件αTA-1α≠b。
设η是欧氏空间中一单位向量,定义T(α)=α-2(η,α)η.证明: (1)T是正交变换,这样的正交变换称为镜面反射; (2)T是第二类的(即T对应的矩阵的行列式为-1); (3)如果n维欧氏空间中,正交变换T以1作为一个特征值,且属于特征值1的特征子空间V1的维数是n-1,则T是镜面反射.
设A为m×n实矩阵.证明:对于任何m维实的非零列向量b,非齐次线性方程组ATAx=ATb必有解.
设A为n阶可逆矩阵,a为n维列向量,b为常数.记分块矩阵
其中A'是矩阵A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵。
(1)计算并化简PQ;
(2)证明:矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b.
1)设α,β是n维欧氏空间V中两个不同的单位向量,证明:存在一镜面反射使
2)证明:n维欧氏空间V中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积。
设{α1,α2,···,αn}是F上n维向量空间V的一个基。A是F上一个nxs矩阵。令
证明