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题目内容（请给出正确答案）

[主观题]

设为群的子群,求证:H为正规子群当且仅当对任何元素gG有

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第1题

证明：群G是有限群当且仅当G只有有限个子群．

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第2题

设G是有限群，且H＜G．证明：设G1，G2，…，Gn是群G的正规子群且G=G1G2…Gn．证明： G1G2…Gi－1∩Gi=eG中

设G1，G2，…，Gn是群G的正规子群且G=G1G2…Gn．证明： G1G2…Gi-1∩Gi=e

设G是有限群，且H＜G．证明：设G1，G2，…，Gn是群G的正规子群且G=G1G2…Gn．证明： G G中每个元素表示法惟一．

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第3题

设H，K是群G的两个有限正规子群，并且（H|，|K|)=1．证明：如果商群G／H和G／K都是交换群，则G也是交换群

设H，K是群G的两个有限正规子群，并且(H|，|K|)=1．证明：如果商群G／H和G／K都是交换群，则G也是交换群．

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第4题

设为循环群,为其正规子群.证明:商群亦为一个循环群.

设设为循环群,为其正规子群.证明:商群亦为一个循环群.设为循环群,为其正规子群.证明:商群亦为一个循环为循环群,为其正规子群.证明:商群亦为一个循环群.

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第5题

设G是有限群，且H＜G．证明：设群G是其子群G1与G2的直积，即 G=G1×G2．证明：G／G1≌G2， G／G2≌G1．

设群G是其子群G1与G2的直积，即 G=G1×G2．证明：G／G1≌G2， G／G2≌G1．

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第6题

设H是G的子群，具有性质：H的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，则H是G的一个正规子群．

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第7题

若群G的阶为48，G的子群H的阶为16，则H在G中的指数为（）。

A.1

B.2

C.3

D.4

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第8题

设f是群G1到G2的同态映射，H是G1的子群，证明f（H)是G2的子群．

设f是群G₁到G₂的同态映射，H是G₁的子群，证明f(H)是G₂的子群．

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第9题

设＜ H,‧＞和＜ K,‧＞都是群＜ G,‧＞的子群,令HK={h‧k|h∈H,k∈K},证明:＜ HK,‧＞是＜ G,‧＞的子群的充要条件是HK=KH。

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第10题

设＜ G,* ＞是群,对任一a∈G,令H={yly*a=a*y,y∈G},试证明: ＜ H,* ＞是＜ G,* ＞的子群。

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