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更多“证明：设A是非退化实矩阵，则它是一个正交矩阵与一个正定矩阵的…”相关的问题
第1题
设实矩阵Α=(αij)，Αij是αij的代数余子式。证明：Α是正交矩阵当且仅当下述条件之一成立：(1)|Α|=1且对任意i，j，αij=Αij;(2)|Α|=-1且对任意i，j，αij=-Αij。
设实矩阵Α=（αij)，Αij是αij的代数余子式。证明：Α是正交矩阵当且仅当下述条件之一成立：（1)|Α|=1且对任意i，j，αij=Αij;（2)|Α|=-1且对任意i，j，αij=-Αij。
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第2题
设是一个实矩阵且ad-bc=1。证明：（i)如果|trA|＞2，那么存在可逆实矩阵T，使得这里λ∈R且λ≠0，1，-1;（i
设
是一个实矩阵且ad-bc=1。证明：
(i)如果|trA|＞2，那么存在可逆实矩阵T，使得
这里λ∈R且λ≠0，1，-1;
(ii)如果|trA|=2且A≠±1，那么存在可逆实矩阵T，使得
(iii)如果|trA|＜2，则存在可逆实矩阵T及θ∈R，使得
第5题
设f(α，β)是V上对称的或反称的双线性函数，α，β是V中两个向量，如果(α，β)=0，则称α，β正交。再设K是V的一个真子空间，证明：对ξ∈K，必有0≠η∈K+L(ξ)使f(η，α)=0对所有α∈K都成立。
设f（α，β)是V上对称的或反称的双线性函数，α，β是V中两个向量，如果（α，β)=0，则称α，β正交。再设K是V的一个真子空间，证明：对ξ∈K，必有0≠η∈K+L（ξ)使f（η，α)=0对所有α∈K都成立。
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(阿达马(Hadamard)不等式)。第7题
设A为m×n实矩阵.证明：对于任何m维实的非零列向量b，非齐次线性方程组ATAx=ATb必有解.
设A为m×n实矩阵.证明：对于任何m维实的非零列向量b，非齐次线性方程组ATAx=ATb必有解.
第8题
设A(t)为实矩阵,x=x(t)是=A(t)x的复值解,试证明x(t)的实部和虚部分别都是它的解.
设A（t)为实矩阵,x=x（t)是=A（t)x的复值解,试证明x（t)的实部和虚部分别都是它的解.
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设A(t)为实矩阵,x=x(t)是
=A(t)x的复值解,试证明x(t)的实部和虚部分别都是它的解.
第9题
设{α1，α2，…，αn}和{β1，β2，…，βn}是n维欧氏空间V的两个标准正交基，证明：如果V的一个正交变换τ使得τ（α1)=β1，那
设{α1，α2，…，αn}和{β1，β2，…，βn}是n维欧氏空间V的两个标准正交基，证明：如果V的一个正交变换τ使得τ(α1)=β1，那么τ(α2)，τ(α3)，…，τ(αn)所生成的子空间与β2，β3，…，βn所生成的子空间重合．
第10题
设U是一个正交矩阵。证明：（i)U的行列式等于1或-1;（ii)U的特征根的模等于1;（iii)如果λ是U的一个特征根，那么1/λ也是U的一个特征根：（iv)U的伴随矩阵U*也是正交矩阵。
