试证明:
设是一个非空点集,若对任意的,存在y∈E,使得d(x,y)=d(x,E),则E是闭集.
设φ是集合X到集合Y的任意一个映射,A与B分别为X与Y的非空子集.证明: 1)φ-1(φ(A))
,且当φ为单射时等号成立; 2)φ(φ-1(B))
,且当φ为满射时等号成立.
设X是度量空间,f:X→.证明f连续的充要条件是对每个a∈,集合{x∈X:f(x)≤a}与{x∈X:f(x)≥a}都是闭集.
设,点到集合E的距离定义为
.
证明:(1) 若E是闭集,,则ρ(x,E)>0;
(2) 若是E连同其全体取点所组成的集合(称为E的闭包),则
.
设(G,△)是一个群,而a∈G.如果f是从G到G的映射,使得对于每一个x∈G,都有f(x)=a△x△a-1,证明:f是从G到G的自同构.
试证明:
设集合.若对任意的x∈E,存在开球B(x,δx),使得m(E∩B(x,δx))=0,则m(E)=0.