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[主观题]
令A是数域F上一个n阶反对称矩阵,即满足条件AT=-A。(i)A必与如下形式的一个矩阵合同:(ii)
令A是数域F上一个n阶反对称矩阵,即满足条件AT=-A。
(i)A必与如下形式的一个矩阵合同:
(ii)反对称矩阵的秩一定是偶数;
(iii)F上两个n阶反对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩。
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令A是数域F上一个n阶反对称矩阵,即满足条件AT=-A。
(i)A必与如下形式的一个矩阵合同:
(ii)反对称矩阵的秩一定是偶数;
(iii)F上两个n阶反对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩。
设V是数域F上一切mxn矩阵所构成的向量空间。C是一个取定的mxm矩阵,定义证明:f是V上一个双线性函数,f是不是对称的?
令Mn(F)表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间。令
证明:S和T都是Mn(F)的子空间,并且Mn(F)=S+T,S∩T={O}。
设A是复数域C上一个n阶矩阵,λ1,λ2,···,λn是A的全部特征根(重根按重数计算)。
(i)如果f(x)是C上任意一个次数大于零的多项式,那么f(λ1),f(λ2),···,f(λn)是f(A)的全部特征根;
(ii)如果A可逆,那么λi≠0,i=1,2,...,n,并且是A-1的全部特征根。
设{α1,α2,···,αn}是F上n维向量空间V的一个基。A是F上一个nxs矩阵。令
证明
求下列线性空间的维数与一组基:
1)数域P上的空间Pnxn;
2)Pnxn中全体对称(反称,上三角形)矩阵作成的数域P上的空间;
3)全体正实数R+,加法与数量乘法定义为
的空间;
4)实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间,其中
(1)设A.B分别是数城K上的矩阵,证明:
(2) 设A,8分别是实数域上n阶矩阵.证明:矩阵A与矩阵B的相似关系不随数域扩大而改变.
令域F的特征是p,f(x)是F上一个不可约多项式,并且f(x)可以写成F上但不能与成的多项式(e≥1). 证明:f(x)的每一个根的重复度都是