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[主观题]
设U是一个正交矩阵。证明：（i)U的行列式等于1或-1;（ii)U的特征根的模等于1;（iii)如果λ是U的一个特征根，那么1/λ也是U的一个特征根：（iv)U的伴随矩阵U*也是正交矩阵。
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其中对角线元素tii(i=1，2，...，n)都是正实数，并证明这个分解是唯一的。
设D是以光滑曲线I为边界的有界闭区域,而函数u=u(x,y)在D上具有连续的二阶偏导数、记
证明:
其中
表示函数u沿边界曲线I外法线方向的方向导数.
可以按以下步骤证明矩阵的乘法满足结合律。
(i)设B=(bij)是一个nxp矩阵，令
是B的第j列，j=1，2，...，p，又设
是任意一个px1矩阵。证明：
(ii)设A是一个mxn矩阵，利用(i)及习题2的结果，证明：A(Bξ)=(AB)ξ。
(iii)设C是一个ρxq矩阵，利用(ii)证明：A(BC)=(AB)C。
B.A的行列式|A|＞0
C.对任意的x=(x1，x2，…，xn)T，xi≠0(i=1，2，...，n)，有xTAx＞0
D.存在正交矩阵Q，使得QTAQ=diag(λ1，λ2，…，λn)，其中λi＞0(i=1，2，…，n)
设
相似。
(1)求k的值;
(2)求一个正交矩阵Q使得QTAQ=B。
