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[主观题]

证明任何一个n阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一:若n=2v;若n=2v+1。

证明任何一个n阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一:证明任何一个n阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一:若n=2v;若n=2v+1。证明任何一个若n=2v;证明任何一个n阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一:若n=2v;若n=2v+1。证明任何一个若n=2v+1。

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第1题
设A=(aij)是一个n阶正定实对称矩阵。证明当且仅当A是对角矩阵时,等号成立。

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第2题
设A是一个n级可逆复矩阵,证明:A可以分解成A=UT。其中U是酉矩阵,T是一个上三角形矩阵:其中对角线

设A是一个n级可逆复矩阵,证明:A可以分解成A=UT。其中U是酉矩阵,T是一个上三角形矩阵:

其中对角线元素tii(i=1,2,...,n)都是正实数,并证明这个分解是唯一的。

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第3题
设A为任意的n阶实对称正定矩阵,为n维实向量空间,对,试证明定义式(x,x)A=(Ax,x)为的一个内
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设A为任意的n阶实对称正定矩阵,为n维实向量空间,对,试证明定义式(x,x)A=(Ax,x)为的一个内积(称为A内积)。

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第4题
设A,B都是n阶可逆矩阵,证明均可逆,并求其逆矩阵。

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第5题
设A为n阶(n≥2)可逆矩阵,证明:(k为非零常数) .
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设A为n阶(n≥2)可逆矩阵,证明:

(k为非零常数) .

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第6题
设A是n阶可逆矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵(1)计算并化简PQ;(2)证明Q可逆的充要条件α
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设A是n阶可逆矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵

(1)计算并化简PQ;

(2)证明Q可逆的充要条件αTA-1α≠b。

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第7题
设A,B为n阶矩阵,2A-B-AB=E,A2=A,其中E为n阶单位矩阵。(1)证明:A-B为可逆矩阵,并求(A-B)卐
设A,B为n阶矩阵,2A-B-AB=E,A2=A,其中E为n阶单位矩阵。(1)证明:A-B为可逆矩阵,并求(A-B)卐

设A,B为n阶矩阵,2A-B-AB=E,A2=A,其中E为n阶单位矩阵。

(1)证明:A-B为可逆矩阵,并求(A-B)-1;

(2)已知,试求矩阵B。

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第8题
设A,B为n阶矩阵,B是可逆矩阵,且满足A2+AB+B2=O。证明:A与A+B均可逆,并求A-1和(A+B)-1
设A,B为n阶矩阵,B是可逆矩阵,且满足A2+AB+B2=O。证明:A与A+B均可逆,并求A-1和(A+B)-1

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第9题
设A为n阶可逆矩阵,a为n维列向量,b为常数.记分块矩阵其中A'是矩阵A的伴随矩阵,E为n阶单位

设A为n阶可逆矩阵,a为n维列向量,b为常数.记分块矩阵

其中A'是矩阵A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵。

(1)计算并化简PQ;

(2)证明:矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b.

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第10题
设B是n阶反对称矩阵,E是n阶单位矩阵,λ>0,证明:λE-B2是正定矩阵

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