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设η是欧氏空间中一单位向量，定义T(α)=α－2(η，α)η．证明： (1)T是正交变换，这样的正交变换称为镜面反射； (2)T是第二类的(即T对应的矩阵的行列式为－1)； (3)如果n维欧氏空间中，正交变换T以1作为一个特征值，且属于特征值1的特征子空间V1的维数是n－1，则T是镜面反射．
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设A=(aij)是一个n级正定矩阵，而
在Rn中定义内积(α，β)为(α，β)=αAβ'。
1)证明：在这个定义之下，Rn成一欧氏空间;
2)求单位向量
(0，0，..，1)的度量矩阵;
3)具体写出这个空间中的柯西-布涅柯夫斯基不等式。
1)设α，β是n维欧氏空间V中两个不同的单位向量，证明：存在一镜面反射
使
2)证明：n维欧氏空间V中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积。
设V是n维欧氏空间,γ是V中一非零向量,试证W=｛α∈V/(α,γ)=0｝的维数等于n-1
设{α1，α2，…，αn}和{β1，β2，…，βn}是n维欧氏空间V的两个标准正交基，证明：如果V的一个正交变换τ使得τ(α1)=β1，那么τ(α2)，τ(α3)，…，τ(αn)所生成的子空间与β2，β3，…，βn所生成的子空间重合．
设e1，e2，…，e5是5维欧氏空间V的一个标准正交基.W是由α1，α2，α3所生成的V的子空间，其中α1=e1+e5，α2=e1-e2+e4，α3=2e1+e2+e3.试求W的一个标准正交基.
设α1，α2，…，αm是欧氏空间V中的m个向量.令行列式
证明：α1，α2，…，αm线性无关的充要条件是行列式D≠0(称D为α1，α2，…，αm的格拉姆(Gram)行列式).
使
的充分必要条件为
