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[主观题]
设V1,V2都是线性空间V的子空间,且V1V2,证明:如果V1的维数和V2的维数
设V1,V2都是线性空间V的子空间,且V1V2,证明:如果V1的维数和V2的维数相等,那么V1=V2。
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设V1,V2都是线性空间V的子空间,且V1V2,证明:如果V1的维数和V2的维数相等,那么V1=V2。
设V1,V2是线性空间V的两个非平凡子空间,证明:在V中存在α,使α
V1,α
V2同时成立.
设V为n维线性空间,V1,V2≤V,则
dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2)。
设f是线性空间V1到V2的同态。若W1是V1的子空间,则f(W1)={f(α)|α∈W1}为V2的子空间,若W2是V2的子空间,则{α∈V1|f(α)∈W2}(此集合常记为f-1(W))是V1的包含kerf的子空间。
设V1={x=(x1,x2,…,xn)T|x1,…,xn∈R满足x1+x2+…+xn=0} V2={x=(x1,x2,…,xn)T|x1,…,xn∈R满足x1+x2+…+xn=1}
问V1,V2是不是向量空间?为什么?
设V和W都是数域F上的向量空间,且dimV=n。令σ是V到W的一个线性映射。我们如此选取V的一个基:α1,···,αs,αs+1,...,αn,使得α1,···,αs是Ker(σ)的一个基。证明:(i)σ(αs+1),...,σ(αn)组成Im(σ)的一个基;
(ii)dim Ker(σ)+dim Im(σ)=n。
B.当且仅当向量组α1,α2,…,αn可以由向量组β1,β2,…,βm线性表示
C.当且仅当V的基都是W的基
D.当且仅当dimV≤dimW
设V是复数域上的n维线性空间,T1,T2是V上的线性变换,且T1T2=T2,T1,证明: (1)如果λ0是T1的特征值,则Vλ0是T2的不变子空间; (2)T1,T2至少有一个公共的特征向量.