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[主观题]
设函数f（x)在闭区间[a，b]上具有二阶导数，且f'（a)=f'（b)=0证明：在区间（a，b)内至少存在一点ξ，使
设函数f(x)在闭区间[a，b]上具有二阶导数，且f'(a)=f'(b)=0证明：在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使![设函数f（x)在闭区间[a，b]上具有二阶导数，且f'（a)=f'（b)=0证明：在](https://img2.soutiyun.com/ask/uploadfile/6672001-6675000/bda26835376c516072e0c69ae61212ba.png)
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设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1,证明：对于任意给定的正数a，b，在开区间(0，1)内存在不同的点ξ和η，使得![设函数f（x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1)内可导，且f（0)=0，f（1)=1,证明](https://img2.soutiyun.com/ask/uploadfile/6672001-6675000/7a07307a16a37eb5b56297d9770bb2c8.png)
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进一步,假设曲线y=f(x)与直线x=1和y=0所围的图形S的面积为2.
(1)求函数f(x);
(2)当a为何值时,图形S绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小？
设函数f(x)在区间[0,1]上具有连续导数,f(0)=1,且满足
![设函数f（x)在区间[0,1]上具有连续导数,f（0)=1,且满足,其中Dt={（x,y)|0≤y≤](https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-05/965485770059446.png)
,其中Dt={(x,y)|0≤y≤t-x,0≤x≤t}(0≤1≤1)。求f(x)的表达式。
设函数f(x)在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法,求一个次数不高于3
的多项式3()Px，使其满足![设函数f（x)在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法,求一个次数不高于3 的多项式3](https://img2.soutiyun.com/ask/uploadfile/6156001-6159000/bd4bb020966579910ea4611e744a2745.png)
。并写出误差估计式。
设函数项级数![设函数项级数在x=a与x=b收敛，且对一切n∈N*，un（x)在闭区间[a,b]上单调增加，证明：上](https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-28/980691283855231.png)
在x=a与x=b收敛，且对一切n∈N*，un(x)在闭区间[a,b]上单调增加，证明：![设函数项级数在x=a与x=b收敛，且对一切n∈N*，un（x)在闭区间[a,b]上单调增加，证明：上](https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-28/980691366563962.png)
上一致收敛。
'(x),则它有反函数x=f'(y)定义在区间[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]上,而且反函数在区间内部有导数![反函数的存在性和可微性若函数y=f（x)在闭区间[a,b]上连续且在开区间（a,b)内有不等于零的导](https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-12/976650285930755.png)
试证明：
设f(x)是定义在区间[a，b]上的单调函数，则f(x)是[a，b]上的可测函数.
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且f(x)≥0,那么![设函数f（x)在区间[a,b]上连续,且f（x)≥0,那么 （x)dx在几何上表示什么？设函数f(x](https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-13/974109593488152.png)
(x)dx在几何上表示什么？
![设函数f（x)在闭区间[a,b]上可微分,证明:若ab＞0,则有点ξ∈（a,b),使设函数f(x)在](https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-12/976651189260423.png)
