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[主观题]
令F是有理数域,x3-a是F上一个不可约多项式耐a是x3-a的一个根。证明,F(a)不是x3-a在F上的分裂域。
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令域F的特征是p,f(x)是F上一个不可约多项式,并且f(x)可以写成F上但不能与成的多项式(e≥1). 证明:f(x)的每一个根的重复度都是
令A是数域F上一个n阶反对称矩阵,即满足条件AT=-A。
(i)A必与如下形式的一个矩阵合同:
(ii)反对称矩阵的秩一定是偶数;
(iii)F上两个n阶反对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩。
设{α1,α2,···,αn}是F上n维向量空间V的一个基。A是F上一个nxs矩阵。令
证明
设V是数域F上一切mxn矩阵所构成的向量空间。C是一个取定的mxm矩阵,定义证明:f是V上一个双线性函数,f是不是对称的?
f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e为整系数4次多项式,令r1,r2,r3,r4是它的根,已知r1+r2为有理数,r1+r2≠r3+r4。证明:f(x)可表成两个次数较低的整系数多项式的乘积。
设A是复数域C上一个n阶矩阵,λ1,λ2,···,λn是A的全部特征根(重根按重数计算)。
(i)如果f(x)是C上任意一个次数大于零的多项式,那么f(λ1),f(λ2),···,f(λn)是f(A)的全部特征根;
(ii)如果A可逆,那么λi≠0,i=1,2,...,n,并且是A-1的全部特征根。
设f(x,y)定义在D={0≤x≤1,0≤x≤1}上.
其中qx表示有理数x成既约分数后的分母.证明f(x,y)在D上的二重积分存在而两个累次积分不存在.
令F,I 和E是三个域并且.
假定,
(I:F)=m
而E的元a在F上的次数是n,并且(m,n)=1.
证明,α在I上的次数也是n.