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[主观题]

设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换,证明如果σ满足下列三个条件中的任意两个,那么它必须满足第三个:(i)σ是正交变换;(ii)σ是对称变换;(iii)σ2=τ是单位变换。

设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换,证明如果σ满足下列三个条件中的任意两个,那么它必须满足第三个:(i)σ是正交变换;(ii)σ是对称变换;(iii)σ2=τ是单位变换。

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第1题
设V是一个n维欧氏空间,它的内积为(α,β),对V中确定的向量α,定义V上一个函数α*:α*(β)=(α,β)。1)证明:α*是V上线性函数;2)证明:V到V*的映射:α→α*是V到V*的一个同构映射。(在这个同构下,欧氏空间可看成自身的对偶空间。)

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第2题
设σ是数域F上n维向量空间V的一个可以对角化的线性变换。令λ1,λ2,···,λt是σ的全部本
征值。证明,存在V的线性变换σ1,σ2,···,σt,使得

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第3题
1)设α,β是n维欧氏空间V中两个不同的单位向量,证明:存在一镜面反射使2)证明:n维欧氏空间V中任一

1)设α,β是n维欧氏空间V中两个不同的单位向量,证明:存在一镜面反射使

2)证明:n维欧氏空间V中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积。

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第4题
设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:1)在P[x]中有一次数≤n2的多项式f(x),使2)

是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:

1)在P[x]中有一次数≤n2的多项式f(x),使

2)如果,那么这里d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式;

3)可逆的充分必要条件是,有一常数项不为零的多项式f(x)使

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第5题
设V是一n维欧氏空间,α≠0是V中一固定向量,证明:1)V1={x|(x,α)=0,x∈V}是V的一子空间;2)V1的维数等于n-1。

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第6题
设α1,α2,···,αm和β1,β2,···,βm是n维欧氏空间V中两个向量组,证明存在
一正交变换使的充分必要条件为

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第7题
令V是复数C上的一个n维向量空间,σ,τ是V的线性变换,且στ=τσ。(i)证明σ的每一本征子空间都在τ之下不变;(ii)σ与τ在V中有一公共本征向量。

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第8题
V是n维复线性空间,是V上线性变换,证明:的若尔当标准形矩阵中若尔当块的数目等于V中的线性无关

V是n维复线性空间,是V上线性变换,证明:的若尔当标准形矩阵中若尔当块的数目等于V中的线性无关的特征向量的最大数目。

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第9题
设{α1,α2,···,αn}是F上n维向量空间V的一个基。A是F上一个nxs矩阵。令证明

设{α1,α2,···,αn}是F上n维向量空间V的一个基。A是F上一个nxs矩阵。令

证明

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第10题
令γ1,γ2,···,γn是n维欧氏空间V的一个规范正交基,又令K叫作一个n一方体.如果每一x≇

令γ1,γ2,···,γn是n维欧氏空间V的一个规范正交基,又令

K叫作一个n一方体.如果每一xi都等于0或1,ξ就叫作K的一个顶点。K的顶点间一切可能的距离是多少?

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